Den fundamentale matematiske aktiviteten forklaring handler ifølge Alan Bishop om å «finne måter å forklare eksistensen av fenomener, enten de er religiøse, animistiske eller vitenskapelige» (Educational Studies in Mathematics 19, 1988, s. 183). Det innebærer klassifisering, generalisering, argumentasjon og resonnement, logisk tenkning, modellering og mye mer. Generelt kan man si at det handler om å tenke matematisk og snakke om matematikk og matematiske sammenhenger. Det spiller en viktig rolle når barn løser matematiske problemer.
Jeg begynner med et eksempel. Barn utforsker hvordan lekebiler ruller ned en sklie og forklarer det de observerer. Etterpå viser jeg eksempler på hvordan barn sorterer på forskjellige måter. Og til slutt utdyper jeg et eksempler som handler om problemløsing.
Biler på sklia
En aktivitet som jeg har gjennomført noen ganger med ulike barnegrupper tar utgangspunkt i barnas interesse for lekebiler og rutsjebanen. Ofte har jeg sett at barna lar biler rulle ned rutsjebanen. Og så spør jeg om de vil undersøke det. Jeg presenterer to biler som er ganske like. De har stort sett samme form, men de har noen forskjeller. De har ulik farge og ulike sjåfører. Vekten er også forskjellig, men det ser man ikke. Barna må ta bilene i hendene og kjenne på dem for å oppdage at den ene er tyngre.
Spørsmålet er hvilken bil kjører lengre når den kommer ned fra sklia. Før barna vet at den ene bilen er tyngre, gjetter de. Kjører bilen med racerbilsjåføren fortere? Vil bilen med min favorittfarge vinne? Når barna etter flere forsøk har oppdaget at det er oftest den tyngre bilen som kjører lengst, skjønner de at det er en sammenheng. De knytter det til sine erfaringer fra andre situasjoner, for eksempel aking.
Hvorfor kjører den tunge bilen lengre? For barna er det tilstrekkelig å si: fordi den er tyngre. Energi er et abstrakt begrep. Å løfte den tunge bilen opp på sklia krever mer energi enn å løfte opp den lette bilen. Derfor har den tunge bilen mer energi som den kan bruke til å rulle lengre.
Noen vil tror at den tunge bilen ruller fortere, men det stemmer ikke. Ved hjelp av et mobilkamera kan vi film bilene som ruller ned. Når vi ser på opptaket i sakte film, ser vi tydelig at begge bilene er like fort.
Selv om den tunge bilen har mer energi, kjører den ikke fortere fordi det krever mer energi å akselerere en tung bil enn en lett bil.
Det finnes en annen mulighet hvordan barna kan leke med biler på rutsjebanen hvis vi har mulighet til å endre hvor bratt banen er. Mer om det finner du på sida om måling.
Sortering
For å kunne forklare hvordan ting henger sammen, må vi først finne sammenhenger. Sortering er en måte til å lete etter sammenhenger på. Ifølge Det Norske Akademis ordbok handler sortering om å ordne i kategorier eller i rekkefølge. Det er de to grunnleggende måter vi kan sortere noe på: (1) Når vi sortere i kategorier, kalles det kategorisering (når kategoriene er gitt) eller klassifisering (når vi lager kategoriene mens vi sorterer). (2) Når vi sorterer i rekkefølge, kalles det rangering eller rett og slett bare ordning (slik som i ordenstall – tallord som angir plass i en rekkefølge).
For å kunne sortere ting, må barna sammenligne dem. Når barn sammenligner, tar de to objekter og sjekker om de er like eller ikke. Sjeldent er to ting helt like. De er bare like med hensyn til et kriterium, men ellers ulike. Barna kan finne en blåskjell og en kamskjell som er like store. Dessuten er begge to muslinger, men ellers er de ganske forskjellige når det gjelder form og farge.
Klassifisering
Klassifisering handler om å finne objekter som har noe felles. Når vi oppdager at noen ting ligner hverandre, begynner vi å klassifisere. Ting som er like hører sammen og skilles fra det som er annerledes. Klassifisering er grunnleggende i begrepsutvikling. For eksempel lærer seg barn begrepet trekant ved å klassifisere former. De finner alle former som har tre kanter og skiller dem fra former som har flere eller færre kanter. Når vi klassifiserer, stiller vi to viktige spørsmål: «Hva hører sammen?» og «Hva hører ikke sammen?» De objektene som hører sammen er ikke like. Trekantene kan for eksempel har ulike farger, størrelser og vinkler. De er ikke like, men likeverdige med hensyn til et valgt kriterium. Når barna for eksempel klassifiserer steiner etter farge, havner alle steiner med samme farge i den samme klassen. De kan være svært forskjellige når det gjelder form, størrelse, om overflaten er jevn eller ujevn osv.
Når barn klassifiserer, bruker de sine egne kriterier. Og da kan de forklare hvordan de har klassifisert når vi stiller åpne spørsmål: «Hva mener du hvilke ting passer sammen?», «Hvorfor hører disse sammen?» og «Hvorfor passer ikke denne sammen med de andre?»
Ordning
Ting kan ordnes på mange ulike måter. Det Norske Akademis ordbok ramser opp mange betydninger som verdet å ordne kan ha i forskjellige kontekster, men opprinnelig kommer det fra det latinske verbet ordinare som betyr «å stille i rekke». I barnehagematematikken bruker vi denne snevre betydningen: Det å ordne er «å bringe i en bestemt rekkefølge».
Når barn er på tur, liker de å samle ting: steiner, pinner, kongler osv. Det som barna har samlet kan de sortere på ulike måter. Først vil barna klassifisere det de har funnet. For eksempel vil de lett skille steiner fra kongler og fjær fra pinner. Men kan vi sortere pinnene også? Barna oppdager at pinnene har ulike lengder. De kan lage klasser av lange og korte pinner. Så oppdager barna at det er ikke så lett, siden det finnes pinner i så mange ulike lengder. Kanskje må vi lage en klasse med «mellomlange» pinner også? Men hvor er grensene mellom kort og mellomlang og lang? Hvis det er så mange ulike lengder, vil barna erfare at det er bedre å lage en rekkefølge enn å lage klasser. Barna ordner pinnene i en rekkefølge fra den korteste til den lengste.
Vi kan ikke bruke hva som helst egenskap for å ordne ting i en rekkefølge. Ordning fungerer best med størrelser. Barna kan ordne hvor lang, bred, høy eller tykk tingene er eller hvor stor areal eller volum de har, hvor gammel, varm, lyst eller myk de er, hvor fort de beveger seg. Litt vanskeligere er det å ordne lyder etter hvor høy eller lys de er, eller handlinger etter hvor lang tid det tar til å fullføre dem. Det går også an å bruke subjektive kriterier, for eksempel hvor godt noe smaker eller hvor vakkert noe er, men da vil ulike mennesker lage forskjellige rekkefølger.
Når vi ordner ting, så leter vi ikke etter likeverdige objekter. Vi fokusserer på forskjell og lurer på på hvilken måte objektene skilles fra hverandre. Barna kan for eksempel lure på: «Hvem er størst?», «Hvem er eldst?» «Hvilket dyr er raskest?», «Hva smaker best?» osv. Det finnes også spørsmål som beskriver rekkefølgen generelt: «Hvem er først?», «Hvilken er den neste?», «Hvilken er den tredje?», «Hvilken er sist?», «Hvem er mellom disse to?» osv. Disse lukkede spørsmålene hjelper barna til å sette ord på rekkefølge: først, sist, nest, mellom osv.
Hvis vi vil at barna forklarer hvordan de ordner ting etter sine egne kriterier, kan vi stille åpne spørsmål: «Hvordan ville du ordne disse tingene?» og «Hvorfor har du laget denne rekkefølgen?»
Mer om sortering
På Matematikksenterets nettsider finner du mer om sortering i barnehagen.
Problemløsing
I prosjektet ViduKids brukte vi problemløsing med femåringer. Anne introduserte problemet. Hun satt på gulvet med tre barn, Robert, Alina og Nora, og plasserte en badeand-dronning mellom dem. Så begynte hun å telle pengestykker. Barna hjalp med å telle til 20. «Dronningen har 20 penger», sa Anne og tok tre ender til opp av lommen – en for hvert barn. Hun lekte at endene spurte dronningen om dele pengene med dem. Så ba hun barna om hjelp.
Nora begynte å dele ut pengene til endene én til én, men Robert sa: «Jeg vil gjøre det selv.» Så begynte hvert barn til å samle inn pengene til sin and. Anne minnet dem på ikke å glemme dronningen. Til slutt sa Robert: «Jeg har fem.» Jentene telte også. De og dronningen hadde også fem pengestykker hver. Anne spurte hvordan de løste problemet. Alina svarte: «Vi telte», men Robert sa: «Jeg fikk fem fordi jeg er 5.»
Observasjonen støtter teorien om at barn i førskolealderen kan dele, men ikke nødvendigvis bruker en-til-en tilordning som en effektiv strategi (Davis & Pepper, 1992, s. 398). De mener at telling er nødvendig for å sikre rettferdig deling (Davis & Pitkethly, 1990, s. 153).
For å utfordre barna litt, introduserte Anne en and til som også ville ha penger. Barna likte ikke å dele, men etter litt nøling, tenking og diskusjon flyttet barna ett pengestykk fra hver and til den nye anda. De telte og ble enige om at hver and nå hadde fire penger.
Robert foreslo at enda flere ender kunne bli med. Anne hentet en klovneand og spurte: «Hva skjer hvis alle gir ham et pengestykke?» Robert svarte: «Da har vi tre.» Anne spurte: «Vil hver and ha tre da?» Barna svarte ikke, men lekte med endene. Anne ba dem prøve det. Alle unntatt Nora og Robert ga en penge til klovnen. Nå hadde fire ender tre penger hver, men Nora og Roberts ender hadde fortsatt fire hver. Anne spurte om alle kunne få like mange. Alina forklarte: «Nei. De har tre hver der borte, og fire her», og Robert la til: «Hvis vi gir en penge, har du fire, og vi har bare tre.» «Det er merkelig», sa Anne og avsluttet aktiviteten fordi barna bare snakket om hva de ville kjøpe for pengene.
Barna var i stand til å overføre strategien som de hadde brukt tidligere til den nye situasjonen. De kunne forklare hvordan de gjorde det og hvorfor det ikke førte til en rettferdig løsning denne gangen. Så aksepterte de at en rettferdig fordeling ikke var mulig og mistet interessen. Det er mindre viktig at delingen er rettferdig hvis du er den som fikk mer enn de andre.
Eksempelet viser at barnehagebarn kan løse matematiske problemer og forklare løsningen og hvordan de har funnet den. En dypere og mer omfattende analyse er publisert i Thiel, O. og Nakken, A. H. (2022). Kindergartenkinder produzieren mathematische Videos. Erste Ergebnisse aus dem Projekt ViduKids. I M. Gutzmann & U. Carle (red.), Anfangsunterricht – Willkommen in der Schule! (bind 154, s. 226-245). Grundschulverband. En engelsk versjon av denne kasusstudien kan du laste ned her.
Mer om problemløsing
Ved Matematikksenteret finner du flere problemer som barn kan løse.
Teori
Vil du lære mer om hvordan barn utvikler sine evner til å resonnere matematisk? Da kan du se på læringsfilmene om dette temaet som jeg har laget for barnehagelærerutdanningen ved Dronning Mauds Minne høgskolen for barnehagelærerutdanning.